الانتقال من المتوسط نماذج مقابل التقلب و الترابط ، و التغاير مصفوفات

نماذج التحرك المتوسط ​​للتذبذب والارتباط، ومصفوفات التباين الاستشهادات الاستشهادات 5 المراجع المراجع 4 يمكن تطبيق نموذج المتغاير الزمني المتغير على العديد من السلاسل الزمنية متعددة المتغيرات، بما في ذلك تحليل التذبذب في التمويل 4 و نشاط التخطيط الدماغي في علم الأعصاب 5. النهج الشعبية لتقدير بسلاسة تتضمن مصفوفات التباين المتفاوتة نموذج المتوسط ​​المتحرك المرجح أضعافا (إوما) 25 ونماذج متغاير الانحدار الذاتي المتغاير (غارتش) المتغاير الانحدار الذاتي متعدد المتغيرات. 26 يلتقط الأول اتجاهات متفاوتة بسلاسة ولكنه يفشل في معالجة البيانات المفقودة ويتطلب سلسلة طويلة لتحقيق دقة تقدير عالية 27. عرض إخفاء الملخص مجردة الملخص: الحد من الأبعاد في تحليل السلاسل الزمنية متعددة المتغيرات له تطبيقات واسعة، تتراوح بين تحليل البيانات المالية والبحوث الطبية الحيوية. ومع ذلك، فإن مستويات عالية من الضوضاء المحيطة والتداخلات المختلفة تؤدي إلى إشارات غير ثابتة، مما قد يؤدي إلى الأداء غير الفعال للأساليب التقليدية. في هذه الورقة، نقترح إطار تخطيطي الأبعاد غير الخطية باستخدام خرائط نشر على مشعب الإحصائية المكتسبة، مما يؤدي إلى بناء تمثيل منخفض الأبعاد من سلسلة زمنية غير مستقرة عالية الأبعاد. وتبين لنا أن خرائط الانتشار، مع حبات تقارب على أساس الاختلاف كولب-ليبلر بين الإحصاءات المحلية للعينات، تسمح بتقريب فعال للمسافات الجيوديسية الزوجية. لبناء مشعب الإحصائي، ونحن نقدر توزيعات المعلمة المتطورة من خلال تصميم عائلة من النماذج التوليدية بايزي. ويمكن تطبيق الإطار المقترح على المشاكل التي تكون فيها عمليات التوزيع المتغيرة زمنيا (للبيانات المحلية المؤقتة)، بدلا من العينات نفسها، مدفوعة بعملية أساسية منخفضة الأبعاد. ونحن نقدم كفاءة تقدير المعلمة ومنهجيات الحد من الأبعاد، وتطبيقها على اثنين من التطبيقات: تحليل الموسيقى والصرع التنبؤ الاستيلاء. النص الكامل المادة أبريل 2015 ترتيب ترتيب لحساب إوما الارتباط يتم تقسيم التباين المشترك على الجذر التربيعي للمنتج من اثنين من تقديرات التباين إوما (الكسندر، 2008). وهذا ما يلي: كوت شو أبستراكت هايد أبستراكت الملخص: تحلل هذه الورقة ما إذا كانت أسواق الأسهم في جنوب شرق أوروبا قد أصبحت أكثر تكاملا مع أسواق الأسهم الإقليمية والعالمية خلال العقد الأول من القرن الحادي والعشرين. وباستخدام مجموعة متنوعة من منهجيات الإدماج المشترك، نبين أن أسواق الأسهم سي لا توجد لها علاقة طويلة الأمد مع نظيراتها الناضجة. وهذا يعني أن أسواق سي قد يتم تحصينها للصدمات الخارجية. ونقوم أيضا برسم نماذج ترابط متفاوتة بين هذه الأسواق باستخدام نماذج هيتيروشيداستيك الشرطية المتغايرة الانحدار الذاتي (مغارتش)، فضلا عن منهجية المتوسط ​​المتحرك الأسي (إوما). وتظهر النتائج أن الارتباطات بين أسواق الأسهم في المملكة المتحدة والولايات المتحدة مع تغير سوق جنوب شرق أوروبا مع مرور الوقت. وهذه التغيرات في العلاقات المتبادلة بين أسواقنا المرجعية وأزواج أسواق سي الفردية ليست موحدة على الرغم من وجود دليل على تزايد التقارب بين جنوب شرق أوروبا وسوق الأسهم المتقدمة. كما تم البحث في هذه الورقة عما إذا كان هيكل الارتباطات بين عوائد المؤشرات في الأسواق المختلفة قد تغير في مراحل مختلفة من الأزمة المالية العالمية 2007-2009. وعموما، تظهر نتائجنا أن فوائد التنويع ال تزال ممكنة للمستثمرين الراغبين في تنويع محفظتهم بين أسواق األسهم المتقدمة والناشئة. النص الكامل مقالة فب 2013 فرانشيسكو غويدي محمد أوغور عرض الملخص الملخص الملخص: اعتاد محللو الدخل الثابت على مراقبة بعض العوائد المعيارية بشكل مستمر وتقديم تقديرات نقطة لهذه الغلات أو لمزيج منها. ومع ذلك، فإن الاستفادة المثلى من محافظ الدخل الثابت يتطلب تنبؤا دقيقا ليس فقط بعائدات مرجعية قليلة، بل بمنحنيات عوائد كاملة. يستمد هذا الفصل توقعات واحدة أو أكثر من منحنيات العائد تتسق مع آراء المحللين. ويستند هذا النموذج إلى تطبيق جديد لتحليل المكونات الرئيسية (يكا). ويمكن أن يمتد إلى أسواق أخرى وليس له قيود على عدد المتغيرات المتوقعة، أو عدد المشاهدات. ونعتبر أمثلة للتنبؤ بمنحنيات عائد السندات الحكومية في الولايات المتحدة ومنطقة اليورو والمملكة المتحدة، في وقت واحد أو لا. الفصل يناير 2010 سورن المجلة الالكترونية ليوناردو M. نوغويراوفوفينغ النماذج المتوسطة للتقلب والارتباط، والمصفوفات التبادلية النسخ 1 JWPR0-فابوزي c-سيسي نوفمبر 00. الاتحاد الافريقي: لا يظهر مصطلح في النص 0 الفصل سيسي تتحرك نماذج المتوسط ​​للتذبذب والارتباط ، ومصفوفات التبادل المشترك كارول أليكساندر، دكتوراه رئيس إدارة المخاطر ومدير البحوث، مركز إيسما، كلية إدارة الأعمال، وجامعة ريدينج الخواص الأساسية للتعاظم والمصفوفات المماثلة المتوسطات المرجحة بالمعدلات الإحصائية المنهجية فترات الثقة للتباين والتذبذب أخطاء قياسية للمرجحة بالتساوي متوسط ​​المقدرين المتوسط ​​المتحرك المتوسط ​​المتحرك المتوسط ​​المتغير المصفوفات دراسة الحالة: قياس تقلب وترابط سندات الخزينة الأمريكية. كم من الوقت يجب أن تستخدم فترة البيانات التاريخية حواجز في المتوسط ​​المتحرك المتوسط ​​المرجح باستخدام المتوسطات المتحركة المتوازنة بنفس القدر 0 المتوسطات المتحركة الموزون بشكل إحصائي المنهجية الإحصائية تفسير لامدا خصائص التقديرات نموذج التنبؤات إوما الأخطاء القياسية لتوقعات إوما ملخص منهجية تم ريسكمتريكس المراجع ملخص: تلخص التقلبات والترابط بين العائدات على مجموعة من الموجودات أو عوامل الخطر أو معدلات الفائدة في مصفوفة التباين المشترك. هذه المصفوفة تقع في قلب تحليل المخاطر والعائد. وهو يحتوي على جميع املعلومات الالزمة لتقدير تقلب املحفظة، ومحاذاة القيم املترابطة لعوامل املخاطر، وتنويع االستثامرات، والحصول عىل حافظات فعالة لها املفاضلة األمثل بني املخاطر والعائد. ويتطلب كل من مدراء المخاطر ومديري الأصول مصفوفات التباين التي قد تشمل الكثير من الأصول أو عوامل الخطر. فعلى سبيل المثال، في نظام عالمي لإدارة المخاطر في مصرف دولي كبير، ستشمل جميع منحنيات العائد الرئيسية ومؤشرات الأسهم وأسعار صرف العملات الأجنبية وأسعار السلع الأساسية في مصفوفة مشتركة واحدة ذات أبعاد كبيرة جدا. الكلمات الرئيسية: التقلب، الارتباط، التباين، المصفوفة، المتوسط ​​المتحرك المرجح على نحو متساو، المتوسط ​​المتحرك المرجح ألسيا إوما)، تمهيد ثابت، ريسكمتريكس، الخطأ المعياري للتنبؤ بالتقلبات التباين والتغيرات هي معاملات التوزيع المشترك للعائد أو عامل الخطر). من المهم أن نفهم أنها غير ملحوظة. ولا يمكن تقديرها أو التنبؤ بها إلا في سياق نموذج ما. نماذج الوقت المستمر، وتستخدم لتسعير الخيارات، وغالبا ما تقوم على العمليات العشوائية للتباين والتباين. وتستند نماذج الوقت المنفصل، المستخدمة لقياس مخاطر الحافظة، إلى نماذج السلاسل الزمنية للتفاوت والتباين. في كل حالة، يمكننا فقط تقدير أو التنبؤ من أي وقت مضى التباين والتسامح في سياق نموذج المفترض. ولا بد من التأكيد على أنه لا يوجد تباين أو تباين حقيقي حقيقي. ما هو صحيح يعتمد فقط على النموذج الإحصائي. وحتى لو علمنا على وجه التحديد أن نموذجنا يمثل تمثيلا سليما لعملية توليد البيانات، فإننا لا يمكن أبدا قياس التباين الحقيقي ومعلمات التباين بالضبط لأن التباين النقي والتباين لا يتم تداولهما في السوق. (2) JWPR0-فابوزي c-سيسي نوفيمبر، 00. نماذج التحرك المتوسط ​​للتذبذب والارتباط، والمصفوفات المتباينة 0 استثناء من هذا هو العقود الآجلة على مؤشرات التقلبات مثل مؤشر تقلب أسعار الخيارات في مجلس شيكاغو فيكس). وبالتالي، يلاحظ بعض التقلبات المحايدة للمخاطر. ومع ذلك، يتناول هذا الفصل مصفوفة التباين في القياس المادي. تقدير التباين وفقا للصيغ التي يعطيها النموذج، باستخدام البيانات التاريخية، يعطي التباين الملحوظ الذي يتحقق من خلال العملية المفترضة في نموذجنا. ولكن هذا التباين المحقق لا يزال مجرد تقدير. وتخضع تقديرات العينة دائما لخطأ املعاينة، مما يعني أن قيمتها تعتمد على بيانات العينة املستخدمة. وباختصار، يمكن لنماذج إحصائية مختلفة أن تعطي تقديرات مختلفة للتفاوت والتباين لسببين: التباين الحقيقي أو التباين) يختلف بين النماذج. ونتيجة لذلك، هناك درجة كبيرة من المخاطر النموذجية الكامنة في بناء مصفوفة التباين أو الارتباط. وهذا يعني أنه يمكن الحصول على نتائج مختلفة جدا باستخدام نموذجين إحصائيين مختلفين حتى عندما تستند إلى نفس البيانات بالضبط. وتخضع تقديرات الفروق والتباينات الحقيقية) لخطأ المعاينة. وهذا هو، حتى عندما نستخدم نفس النموذج لتقدير التباين، فإن تقديراتنا تختلف اعتمادا على البيانات المستخدمة. وسيؤثر كل من تغيير فترة العينة وتغيير تواتر الملاحظات على تقدير مصفوفة التباين المشترك. ويغطي هذا الفصل النماذج المتحركة المتسلسلة الزمنية المتقطعة للتفاوت والتباين، مع التركيز على التنفيذ العملي 0 للنهج وتقديم تفسير لمزاياها وقيودها. يتم وصف الأدوات الإحصائية الأخرى في الكسندر 00، الفصل. الخصائص الأساسية للتغاير و 0 المصفوفات المتناظرة مصفوفة التباين هي مصفوفة مربعة متماثلة من التباين والتغيرات في مجموعة من العوائد m على الأصول أو على عوامل الخطر التي تعطيها: سيغما سيغما سيغما m سيغما سيغما سيغما m V سيغما سيغما سيغما . سيغما m سيسي.) سيغما m سيغمام سينس سيغما سيغما سيغما m سيغما سيغما سيغما m سيغما سيغما سيغما. سيغما m سيغما m سيغمام سيغما سيغما سيغما m سيغما سيغما m سيغما سيغما سيغما m سيغما سيغما m 0 سيغما سيغما سيغما سيغما سيغما. m سيغما سيغما سيغمام يمكن أيضا التعبير عن مصفوفة التباين ك V دسد سيسي) حيث D هو مصفوفة قطري مع عناصر تساوي الانحرافات المعيارية للعائدات أندك هي مصفوفة الارتباط للعائدات. وهذا هو: سيغما سيغما. سيغما m سيغما سيغما سيغما. سيغما m 0 سيغما سيغما m سيغما m. سيغمام 0. 0 سيغما n. n سيغما. n 0 سيغما n n. 0. 0 سيغما n وبالتالي، فإن مصفوفة التباين هي ببساطة طريقة رياضية مناسبة للتعبير عن تقلبات الأصول وعلاقاتها. توضیح کیفیة تقدیر مصفوفة التغیرات السنویة ومصفوفة التغیر السنوي لمدة 0 یوم، افترض ثلاثة أصول ذات التقلبات والترابطات التالیة: تقلبات الأصول 0 ارتباط أصول الأصول 0. تقلبات الأصول 0 ارتباط الأصول الأصول 0. تقلبات الأصول الأصول ارتباط الأصول 0 ثم دس لذا فإن مصفوفة التباين السنوي دسد هي: للعثور على مصفوفة التباين المشترك لمدة 0 أيام في هذه الحالة البسيطة، يضطر المرء إلى افتراض أن العوائد مستقلة وموزعة بشكل متماثل من أجل استخدام الجذر التربيعي لقاعدة الوقت: ، أن مصفوفة التباين المشترك h هو يوم مرات مصفوفة التغاير اليوم. وبعبارة أخرى، يتم الحصول على مصفوفة التبادل المشترك لمدة 0 يوم من المصفوفة السنوية بقسمة كل عنصر على افتراض وجود أيام تداول في السنة. بدلا من ذلك، يمكننا الحصول على مصفوفة لمدة 0 يوما باستخدام التقلبات لمدة 0 يوم في D. لاحظ أنه في ظل افتراضات العودة المستقلة والموزعة بشكل موحد C يجب ألا تتأثر فترة الحجز. وهذا هو، D C 3 JWPR0-فابوزي ج سيسي نوفمبر، 00. يرجى تزويد جزء عنوان لأن كل تقلب مقسوما على سبيل المثال الجذر التربيعي لل). ثم نحصل على نفس النتيجة على النحو الوارد أعلاه، أي لاحظ أن V هو سيميدفينيت إيجابية إذا وفقط إذا C هو سيميدفينيت إيجابية. D هو دائما إيجابية محددة. وبالتالي، فإن سيميدفينيتينيس إيجابية من V يعتمد فقط على الطريقة التي نبني مصفوفة الارتباط. من الصعب جدا أن نولد مصفوفات ارتباط ذات دلالة إجيابية وذات دلالة إحصائية تكون كبيرة بما فيه الكفاية لكي يتمكن المديرون من مواجهة المخاطر في جميع المواقف في الشركة. تبسيط الافتراضات ضروري. على سبيل المثال ريسكمتريكس) منهجية بسيطة جدا على أساس المتوسطات المتحركة من أجل تقدير مصفوفات محددة إيجابية كبيرة للغاية تغطي مئات عوامل الخطر للأسواق المالية العالمية. ويوضح هذا القسم كيفية تقدير التقلب والارتباط والتنبؤ بتطبيق معامالت متساوية على بعض البيانات الزمنية التاريخية. نحن نحدد عددا من المزالق والقيود المفروضة على هذا النهج، ونتيجة لذلك نوصي باستخدام هذه النماذج كمؤشر على المدى المحتمل للتذبذب والارتباط على المدى الطويل. كما سنرى، هذه النماذج هي من صحة مشكوك فيها للتقلبات على المدى القصير والتنبؤ الارتباط. في ما يلي، للبساطة، نفترض أن متوسط ​​العائد هو صفر وأن العوائد تقاس على التردد اليومي، ما لم ينص على خلاف ذلك على وجه التحديد. إن عائد متوسط ​​الصفر هو افتراض معياري لتقييم المخاطر استنادا إلى السلاسل الزمنية للبيانات اليومية، ولكن إذا تم قياس العوائد على فترات أطول فقد لا تكون واقعية جدا. وعندئذ يكون التقدير املرجح بالتساوي لتفاوت العوائد هو متوسط ​​العوائد املربعة وتقدير التقلب املقابل هو اجلذر التربيعي لهذا املعبر عنه كنسبة مئوية سنوية. والتقدير املرجح بالتساوي للتغاير يف عائدني هو متوسط ​​املنتجات املتصالبة للعائدات والتقدير املرجح بالتساوي لرتابطها هو نسبة التباين املتبادل إىل الجذر التربيعي ملنتج الفروقني. وكان الترجيح المتساوي للبيانات التاريخية أول طريقة إحصائية مقبولة على نطاق واسع للتنبؤ بالتقلبات وربط عائدات الأصول المالية. لسنوات عديدة، كان معيار السوق هو توقع متوسط ​​التقلبات على مدى الأيام القادمة من خلال اتخاذ متوسط ​​مرجح متساوي للعوائد التربيعية خلال الأيام السابقة. وقد سميت هذه الطريقة بالتنبؤ التاريخي بالتذبذب. في الوقت الحاضر، يمكن تطبيق العديد من تقنيات التنبؤ الإحصائي المختلفة على بيانات السلاسل الزمنية التاريخية لذلك فمن المحيرة استدعاء هذه الطريقة المرجحة بالتساوي الطريقة التاريخية. ومع ذلك، فإن هذه المصطلحات مربكة نوعا ما لا تزال موحدة. وتترتب على التغيرات الملحوظة في التقلب والارتباط تبعات هامة على جميع أنواع قرارات إدارة المخاطر، سواء فيما يتعلق بالرسملة أو بتخصيص الموارد أو استراتيجيات التحوط. والواقع أن هذه العوامل هي توزيعات العائدات التي تشكل اللبنات الأساسية لنماذج تقييم مخاطر السوق. ولذلك من الضروري فهم نوع التباين في العوائد التي يقاسها النموذج. ويفترض النموذج أن عملية موزعة بشكل مستقل ومتماثل تولد عوائد. وهذا يعني أن كلا من التقلب والارتباط ثابتان ويطبق الجذر التربيعي لقاعدة الوقت. هذا الافتراض له تداعيات هامة، ونحن سوف نحرص على شرح هذه بعناية فائقة. المنهجية الإحصائية يمكن وصف منهجية بناء مصفوفة التباين القائم على المتوسطات المرجحة بالتساوي بعبارات بسيطة جدا. النظر في مجموعة من السلاسل الزمنية i. م ر. T. هنا يشير الرمز i إلى الأصل أو عامل الخطر، و t تشير إلى الوقت الذي يتم فيه قياس كل عائد. وسوف نفترض أن كل عائد له صفر يعني. ثم تقدير غير متحيز للتباين غير المشروط للعائد إيث المتغير في الوقت t، استنادا إلى أحدث عوائد T اليومية كما: سيركسيغما ط، ر T ري، تل T سيسي) يعني مصطلح مقدر غير منحازة القيمة المتوقعة للمقدر يساوي القيمة الحقيقية. لاحظ أن سيسي) يعطي تقديرا غير متحيز للتباين ولكن هذا ليس هو نفس مربع تقدير غير متحيز للانحراف المعياري. وهذا هو، E سيركسيغما) سيغما ولكن E سيركسيغما) سيغما. لذلك حقا يجب أن تكون كتابة قبعة قبعة على كامل سيغما. ولكن من المفهوم عموما أن الدالة سيركسيغما تستخدم للدلالة على تقدير أو توقع التباين، وليس مربع تقدير الانحراف المعياري. لذلك، في حالة أن متوسط ​​العائد هو صفر، لدينا E سيركسيغما) سيغما. وإذا لم يفترض أن متوسط ​​العائد هو صفر، فإننا بحاجة إلى تقدير ذلك من العينة، وهذا يضع قيدا خطيا) على التباين المقدر من بيانات العينات. وفي هذه الحالة، للحصول على تقدير غير متحيز، ينبغي أن نستخدم T) ري، t l r i l سي، t سيسي. T حيث r i هو متوسط ​​العائد على السلسلة إيث المأخوذة على عينة كاملة من نقاط البيانات T. ويمكن أن يكون نموذج الانحراف المتوسط ​​أعلاه مفيدا لتقدير التباين باستخدام بيانات شهرية أو حتى أسبوعية على مدى فترة يختلف فيها متوسط ​​العوائد اختلافا كبيرا عن الصفر. ولكن مع البيانات اليومية فإن متوسط ​​العائد عادة ما يكون صغيرا جدا، وبما أننا نرى أدناه، فإن الأخطاء الناجمة عن افتراضات أخرى ضخمة بالنسبة للخطأ الناجم عن 4 JWPR0-فابوزي c-سيسي تشرين الثاني / نوفمبر 00. نماذج الانتقال المتحركة للتذبذب و الترابط، والمصفوفات التبادلية بفرض المتوسط ​​هو صفر، ونحن عادة استخدام شكل سيسي.). وبالمثل، فإن التقدير غير المتحيز للتغاير غير المشروط لعائدين صفريين في الوقت t، استنادا إلى آخر العوائد اليومية T هو: سيرسيغما i، j، تنري، تلرج، تل T سيسي.) كما ذكرنا أعلاه، فإننا عادة ما نتجاهل وتعديل الانحراف المتوسط ​​مع البيانات اليومية. وبالتالي فإن تقدير مصفوفة التغاير التشاركي غير المشروط بالتساوي المرجح في الوقت t لمجموعة من العوائد k هو سيرف t t سيرسيغما i، j، t) i i، j. ك. وبعبارة أخرى، يشير المصطلح غير المشروط إلى حقيقة أن التباين العام أو الطويل المدى أو المتوسط ​​هو الذي نقدره، بدلا من التباين الشرطي الذي يمكن أن يتغير من يوم إلى يوم، وهو حساس للأحداث الأخيرة. وكما ذكر في المقدمة، فإننا نستخدم مصطلح "التقلبات" للإشارة إلى الانحراف المعياري السنوي. يتم الحصول على تقديرات متساوية بالتساوي للتقلبات والارتباط على مرحلتين. أولا، يحصل المرء على تقدير غير متحيز لمصفوفة التغاير غير المشروط باستخدام المتوسطات المرجحة بالتساوي للعوائد التربيعية وعبر منتجات العوائد ونفس العدد n من نقاط البيانات في كل مرة. ثم يتم تحويل هذه إلى تقلبات وتقديرات الارتباط بتطبيق الصيغ المعتادة. على سبيل المثال، إذا كانت العوائد تقاس بالتردد اليومي وهناك أيام تداول في السنة: تقلب مرجح بالتساوي سيكسيغما t ترابط مرجح متساوي تقريبا إيج، t سيركسيغما إيج، t سيركسيغما i، t سيرسيغما j، t سيسي) المنهجية املرجحة يتم اعتبار مصفوفة التغاير املتوقع مبثابة التقديرات احلالية، حيث ال يوجد أي شيء آخر يف النموذج لتمييز التقدير من التوقعات. ويعطى أفق المخاطر الأصلي لمصفوفة التباين المتكرر من خلال تواتر العوائد اليومية للبيانات سيعطي توقعات مصفوفة التغاير في اليوم الواحد، وستعطي العائدات الأسبوعية توقعات مصفوفة التباين المشترك، وما إلى ذلك. وبعد ذلك، بما أن النموذج يفترض أن العوائد موزعة بشكل مستقل ومتماثل، يمكننا استخدام الجذر التربيعي لقاعدة الوقت لتحويل توقعات اليوم الواحد إلى توقعات مصفوفة التغاير المتعامد، وذلك ببساطة عن طريق ضرب كل عنصر من مصفوفة اليوم بحلول h. وبالمثل، يمكن الحصول على توقعات شهرية للتنبؤات الأسبوعية بضرب كل عنصر من العناصر، وما إلى ذلك. بعد أن حصلنا على توقعات التباين والتقلب والتباين والترابط يجب أن نسأل: مدى دقة هذا التنبؤ لهذا يمكننا أن نقدم إما فترة الثقة، وهذا هو، النطاق الذي نحن مؤكد إلى حد ما أن المعلمة الحقيقية ستكمن، أو خطأ قياسي لتقدير المعلمة. ويعطي الخطأ المعياري مقياسا لدقة التقدير ويمكن استخدامه لاختبار ما إذا كان يمكن للمعلمة الحقيقية أن تأخذ قيمة معينة أو تكمن في نطاق معين. ويبين القسم التالي التالي كيف يمكن بناء فترات الثقة هذه والأخطاء المعيارية. فروق الثقة في التباين والتذبذب يمكن استخلاص فاصل ثقة للتغير الحقيقي سيجما عند تقديره بمتوسط ​​مرجح بالتساوي باستخدام تطبيق مباشر لنظرية أخذ العينات. وبافتراض أن تقدير التباين يستند إلى عوائد موزعة عادة بمتوسط ​​مفترض من الصفر، فإن T سيكسيغما سيغما سيكون له توزيعا مربعا مع درجة T من الحرية انظر فريند). وبالتالي فإن ألفا (ألفا) فاصل الثقة على الوجهين ل T سيكسيغما سيغما سيأخذ الشكل ألفا و t و تشي ألفا و t) وحسابا مباشرا يعطي فاصل الثقة المرتبط للتباين سيغما على النحو التالي: T سيرسيغما T سيرسيغما، سيسي .) تشي ألفا، t تشي ألفا، t على سبيل المثال، يتم الحصول على فاصل ثقة لتوقعات التباين المرجح على أساس 0 ملاحظات باستخدام القيم الحرجة العليا والسفلى للشي مربعات: تشي 0.، 0. و تشي 0.0،0. لذا فإن فترة الثقة هي 0. سيرسيغما. سيركسيغما) والقيم الدقيقة يتم الحصول عليها عن طريق استبدال في قيمة تقدير التباين. الشكل سيسي. يوضح الحدود العليا والسفلى لفاصل الثقة للتنبؤ بالتنبؤ عندما يكون تقدير التباين المرجح على حد سواء هو واحد. ونرى أنه مع زيادة حجم العينة T، ينخفض ​​عرض فترة الثقة، بشكل ملحوظ بحيث يزيد T من القيم المنخفضة. ويمكننا الآن أن ننتقل إلى فترات الثقة التي ستطبق على تقدير التقلب. نذكر أن التقلب، كونه الجذر التربيعي للتباين، هو مجرد نقلة رتيبة في التحول من التباين. النسب المئوية هي ثابتة تحت أي رتابة صارمة زيادة التحول. وهذا هو، إذا كانت f هي أي وظيفة رتابة متزايدة لمتغير عشوائي X ثم: P c l l x u u p c c l) f t) lt f c u)) الشكل سيسي. 00 سيسي.) 00 فاصل الثقة لتوقعات التباين 5 JWPR0-فابوزي c-سيسي تشرين الثاني / نوفمبر، 00. يرجى توفير عنوان جزء الملكية سيسي) يوفر فترة ثقة لتقلب تاريخي على أساس فترة الثقة سيسي.). وبما أن x هي وظيفة زيادة رتابة x، فإن أونيسيمبلي يأخذ الجذر التربيعي للحدود الدنيا والعليا للتفاوت المرجح على حد سواء. على سبيل المثال إذا كان فاصل الثقة للتباين هو، ثم ل تقلب المرتبطة بها،. وبما أن x هي أيضا رتابة متزايدة ل x غ 0، فإن العكس ينطبق أيضا. هذا إذا كان فاصل الثقة للتذبذب هو، ثم بالنسبة للتباين المرتبطة بها،. الأخطاء المعيارية للمتوسطين المتوسطي الترجيح يوجد مقدر لأي معلمة له توزيع وتقدير نقطة للتقلب هو مجرد توقع توزيع مقدر التقلب. ودالة التوزيع لمتوسط ​​التقلب المتوسط ​​المرجح على قدم المساواة ليست مجرد جذر التربيع لوظيفة التوزيع لتقدير التباين المقابل. وبدلا من ذلك، يمكن استخلاصها من توزيع تقدير التباين عن طريق تحويل بسيط. وبما أن التقلب هو الجذر التربيعي للتباين، فإن دالة الكثافة لمقدر التقلب هي غسيرسيغما) سيرسيغما هسيرسيغما) بالنسبة إلى سيرسيغما gt0 سيسي.) حيث h سيرسيغما هي دالة الكثافة لمقدر التباين. وهذا يتبع من حقيقة أنه إذا كانت y هي وظيفة رتيبة ومتمايزة من x ثم كثافات الاحتمال ز) و h.) ترتبط كما غراي) دكسدي هكس) سيفريوند. لاحظ أنه عندما س س، دكسدي ذ وهكذا غي) ذ هكس). بالإضافة إلى تقدير النقطة أو التوقعات، يمكن للمرء أيضا تقدير الانحراف المعياري لتوزيع المقدر. وهذا ما يسمى بالخطأ المعياري للتقدير. ويحدد الخطأ المعياري عرض فاصل الثقة للتنبؤ ويوضح مدى موثوقية التنبؤ. على نطاق أوسع فترة الثقة، والمزيد من عدم اليقين هناك في التوقعات. وتستند الأخطاء المعيارية لتقديرات الفروق في المتوسط ​​المرجح على قدم المساواة إلى افتراض طبيعي للعائدات. يفترض متوسط ​​نماذج الانتقال أن العوائد مستقلة وموزعة بشكل متطابق. الآن على افتراض طبيعية أيضا، بحيث يتم توزيع العوائد بشكل طبيعي ومستقل، يرمز إليها NID0، سيغما)، ونحن نطبق عامل التباين إلى سيسي.). لاحظ أنه إذا X أنا المتغيرات العشوائية المستقلة ط. T) ثم f X i) أريلسو مستقلة عن أي رتيبة ديفيرنتيابل وظيفة و. ومن ثم، فإن العوائد التربيعية مستقلة، ولدينا: V سيرسيغما t) T i V رت i) T CC.0) منذ فس) إكس) إكس) لأي متغير عشوائي X، فرت) إير t) إير t). حسب الافتراض الصفرى إرت) سيغما و افتراض الحياة الطبيعية، إرت) sigma. hence لكل t: V رت) سيغما سيغما سيغما واستبدال هذا إلى CC.0) يعطي V سيرسيغما t) سيغما سيسي.) T وبالتالي، فإن الخطأ القياسي من تقدير التفاوت المتوسط ​​المرجح على أساس متساو استنادا إلى العوائد التربيعية المتوسطة الصفرية هي سيغما T أو ببساطة عند التعبير عنها كنسبة مئوية من التباين. على سبيل المثال، الخطأ القياسي T لتقدير التباين هو 0 عند استخدام الرصدات في التقدير، و 0 عند استخدام 00 ملاحظة في التقدير. ماذا عن الخطأ المعياري لمقدر التقلب لاكتشاف هذا، نثبت أولا أنه لأي دالة مختلفة بشكل متواصل f ومتغير عشوائي X: V f X)) إكس إكس))) فس سيسي.) لإظهار ذلك، نأخذ ثانية طلب توسع تايلور من f عن متوسط ​​X ومن ثم اتخاذ التوقعات. انظر ألكسندر 00)، الفصل. ) إكس إكس))) إكس إكس)) إكس إكس)) فس إكس))) إكس إكس)) إكس إكس) وتجاهل مرة أخرى شروط الترتيب الأعلى. النتيجة سيسي) يتبع على ما يلي: V f X)) E f X)) E f X)) يمكننا الآن استخدام سيسي.) و سيسي) لاستخلاص الخطأ القياسي لتقدير التقلب التاريخي. من سيسي) لدينا V سيرسيغما) سيرسيغما) V سيرسيغما) وهكذا: V سيرسيغما) V سيرسيغما)) سيسي.) سيرسيغما الآن باستخدام سيسي) في سيسي.) نحصل على التباين من مقدر تقلب على النحو التالي: V سيرسيغما) ) سيغما) سيغما سيسي.) سيغما ت ذلك الخطأ القياسي من مقدر تقلب كنسبة مئوية من التقلب هو T). وتبين لنا هذه النتيجة أن الخطأ المعياري لمقدر التقلب كنسبة مئوية من التقلب) هو تقريبا نصف حجم الخطأ المعياري للتباين كنسبة مئوية من التباين). وبالتالي، كنسبة مئوية من التقلب، يبلغ الخطأ المعياري لمقدر التقلب التاريخي حوالي 0 عند استخدام الرصدات في التقدير، وعند استخدام 00 ملاحظة في التقدير. وتصبح الأخطاء المعيارية على تقديرات متوسط ​​التذبذب المتوسط ​​المرجح بالتساوي كبيرة جدا عند استخدام عدد قليل من الملاحظات 6 JWPR0-فابوزي c-سيسي، تشرين الثاني / نوفمبر 00. يتم استخدام نماذج المتوسط ​​المتحرك للتذبذب والارتباط، ومصفوفات التباين. وهذا هو أحد الأسباب التي تجعل من المستحسن استخدام فترة متوسطية طويلة في تقديرات التقلبات التاريخية. ومن الصعب استخلاص الخطأ المعياري لتقديرات متوسط ​​المتوسط ​​المرجح على قدم المساواة. ومع ذلك، يمكن أن يبين أن V سيرك إيج) T سيسي) وهكذا لدينا التوزيع t التالية لتقدير الارتباط مقسوما على خطأ قياسي: سيرج إيج T سيرك إيج t T سيسي.) على وجه الخصوص، فإن أهمية يعتمد تقدير الارتباط على عدد الملاحظات المستخدمة في العينة. ولتوضيح اختبار أهمية الارتباط التاريخي، افترض أنه يتم الحصول على تقدير ارتباط تاريخي قدره 0. باستخدام الملاحظات. هل هذا أكبر بكثير من الصفر الفرضية الفارغة هي H 0. 0، والفرضية البديلة هي H. gt0 وإحصائية الاختبار هي سيسي.). حساب قيمة هذه الإحصائية نظرا البيانات لدينا يعطي ر. . حتى قيمة 0 الحرجة العليا للتوزيع t مع درجات الحرية أكبر من هذه القيمة هو في الواقع.). وبالتالي لا يمكننا رفض الفرضية الصفرية: 0. ليست أكبر بكثير من الصفر عند تقديرها من الملاحظات. ومع ذلك، إذا كان قد تم الحصول على نفس القيمة من 0. من عينة مع 00 ملاحظات، كان لدينا t - قيمة سيكون 0، وهو إيجابي بشكل ملحوظ في. مستوى لأن العلوي. القيمة الحرجة للتوزيع t مع درجات الحرية هي. مصفوفات التبادل المتغير المتوسط ​​المرجح على حد سواء يتم حساب المتوسط ​​المتحرك المرجح بنفس القدر على نافذة بيانات ذات حجم ثابت يتم تدويرها عبر الزمن، كل يوم يضيف العائد الجديد ويأخذ أقدم عائد. طول هذه النافذة من البيانات، وتسمى أيضا فترة نظرة إلى الوراء أو فترة المتوسط، هو الفاصل الزمني الذي نحسب متوسط ​​عوائد التربيع للتباين) أو متوسط ​​عبر المنتجات من العوائد للتغاير). في الماضي، فقدت العديد من المؤسسات المالية الكبيرة الكثير من المال لأنها استخدمت نموذج المتوسط ​​المتحرك المرجح على قدم المساواة على نحو غير لائق. لن أكون مندهشا إذا فقد المزيد من المال بسبب عدم الخبرة في استخدام هذا النموذج في المستقبل. المشكلة ليست النموذج نفسه بعد كل شيء، بل هو صيغة إحصائية محترمة تماما لمقدر غير منحازة تنشأ المشاكل من تطبيقه غير مناسب ضمن سياق سلسلة زمنية. فالحجة الخاطئة) على النحو التالي: ينبغي ألا تتأثر التنبؤات طويلة الأجل بالظواهر القصيرة الأجل مثل تجمعات التقلب، ولذلك سيكون من المناسب أخذ المتوسط ​​على مدى فترة تاريخية طويلة جدا. ولكن التوقعات قصيرة الأجل يجب أن تعكس السوق الحالي يخدع يناير -00 يوليو -00 يناير -0 الشكل سيسي. جول-0 SP0 MIB0 جان-0 جول-0 جان-0 جول-0 جان-0 جول-0 جان-0 جول-0 ميب 0 أند سامب 00 دايلي كلوز جان ديتيونس، مما يعني أنه يجب استخدام العوائد السابقة المباشرة فقط . بعض الناس يستخدمون فترة حسابية تاريخية من T أيام من أجل التنبؤ بالأيام T المقبلة يستخدم آخرون فترات أطول أطول من فترة التوقعات. على سبيل المثال، لتوقعات لمدة 0 أيام، قد ينظر بعض الممارسين إلى الوراء 0 أيام أو أكثر. ولكن هذا النهج الظاهر على ما يبدو يؤدي في الواقع إلى مشكلة كبيرة. إذا تم تضمين واحد أو أكثر من العائدات المتطرفة في فترة المتوسط، فإن تقلب أو ارتباط) توقعات يمكن أن تقفز فجأة إلى أسفل إلى مستوى مختلف تماما في يوم عندما لا شيء على الإطلاق حدث في الأسواق. وقبل القفز غامض إلى أسفل، والتوقعات التاريخية ستكون أكبر بكثير مما ينبغي أن يكون. الشكل سيسي. يوضح سعر الإغلاق اليومي لمؤشر ميب الإيطالي 0 بين بداية يناير / كانون الثاني ونهاية أبريل / نيسان 00، ويقارن ذلك مع أسعار مؤشر سامب 00 خلال نفس الفترة. تم تحميل الأسعار من ياهو المالية. سنعرض لك كيفية حساب التقلبات التاريخية لمدة 0 يوم و 0 يوم و 0 يوم في مؤشري الأسهم هذين ومقارنتها بيانيا. نقوم ببناء ثلاثة تقديرات مختلفة للتذبذب المتوسط ​​المرجح على قدم المساواة لمؤشر ميب 0، مع T 0 يوم، 0 يوم و 0 يوم، على التوالي. وتظهر النتيجة في الشكل سيسي. دعونا نركز أولا على الجزء الأول من فترة البيانات وعلى الفترة التي تلت سبتمبر / أيلول، 00)، والهجوم الإرهابي على وجه الخصوص. وتفاعل مؤشر إيطاليا مع الأخبار أكثر بكثير من معظم المؤشرات الأخرى. تقلب التقلب على أساس 0 أيام من البيانات قفز من إلى ما يقرب من يوم واحد، ثم واصل الارتفاع أكثر، حتى. ثم، فجأة، بالضبط بعد 0 أيام من الحدث، تقلب 0-يوم قفزت مرة أخرى إلى 0. ولكن لم يحدث شيء معين في الأسواق الإيطالية في ذلك اليوم. وكان الانخفاض الحاد في التقلب مجرد شبح من الهجوم الإرهابي: لم يكن هناك انعكاس في جميع ظروف السوق الحقيقية في ذلك الوقت. ميزات مماثلة هي واضحة في 0-- يوم و 0-- يوم سلسلة التقلب. Each series jumps us immediately after the event, and then, either 0 or 0 days afterward, jump down again. On November, 00, the three different look-back periods gave volatility estimates of 0, , and , but they are all based on the same 7 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE 0 0 0 0 0 0-day Volatility 0-day Volatility 0-day Volatility May-00 Sep-00 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 Figure CC. Equally Weighted Moving Average Volatility Estimates of the MIB 0 Index underlying data and the same independent and identically distributed assumption for the returns Other such ghost features are evident later in the period, for instance, in March 00 and March 00. Later on in the period, the choice of look-back period does not make so much difference: The three volatility estimates are all around the 0 level. Case Study: Measuring the Volatility and Correlation of U. S Treasuries The interest rate covariance matrix is an important determinant of the value at risk VaR) of a cash flow. In this section, we show how to estimate the volatilities and correlations of different maturity U. S. zero-coupon interest rates using the equal weighted moving average method. Consider daily data on constant maturity U. S. Treasury rates between January, and March, 00. The rates are graphed in Figure CC. It is evident that rates followed marked trends over the period. From a high of about in, by the end of the 0 0 m m y y y y y0 00 00 00 0 0 0 000 000 000 000 000 Figure CC. U. S. Treasury Rates Source: data. htm. same the short-term rates were below . Also, periods where the term structure of interest rates is relatively flat are interspersed with periods when the term structure is upward sloping, sometimes with the long-term rates being several percent higher than the short-term rates. During the upward sloping yield curve regimes, especially the latter one from 000 to 00, the medium - to long-term interest rates are more volatile than the short-term rates, in absolute terms. However, it is not clear which rates are the most volatile in relative terms, as the short rates are much lower than the medium to long-term rates. There arethreedecisionsthatmustbemade: Decision. How long an historical data period should be used Decision. Which frequency of observations should be used Decision. Should the volatilities and correlations be measured directly on absolute changes in interest rates, or should they be measured on relative changes and then the result converted into absolute terms Decision. How Long a Historical Data Period Should Be Used The equally weighted historical method gives an average volatility, or correlation, over the sample period chosen. The longer the data period, the less relevant that average may be today i. e. at the end of the sample). Looking at Figure CC. it may be thought that data from 000 onward, and possibly also data during the first half of the 0s, are relevant today. However, we may not wish to include data from the latter half of the 0s, when the yield curve was flat. Decision. Which Frequency of Observations Should Be Used This is an important decision, which depends on the end use of the covariance matrix. We can always use the square root of time rule to convert the holding period of a covariance matrix. For instance, a 0-day covariance matrix can be converted into a - day matrix by dividing each element by 0 and it can be converted into an annual covariance matrix by multiplying each element by. However, this conversion is based on the assumption that variations in interest rates are independent and identically distributed. Moreover, the data becomes more noisy when we use high-frequency data. For instance, daily variations may not be relevant if we only ever want to measure covariances over a 0-day period. The extra variation in the daily data is not useful, and the crudeness of the square root of time rule will introduce an error. To avoid the use of crude assumptionsitisbesttouseadatafrequencythatcorresponds to the holding period of the covariance matrix. However, the two decisions above are linked. For instance, if data are quarterly, we need a data period of five or more years otherwise, the standard error of the estimates will be very large. But then our quarterly covariance matrix represents an average over many years that may not be thought of as relevant today. If data are daily, then 8 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices 0 0 Au: Can head be shortened just one year of data provides plenty of observations to measure the historical model volatilities and correlations accurately. Also, a history of one year is a better representation of today s markets than a history of five or more years. However, if it is a quarterly covariance matrix that we seek, we have to apply the square root of time rule to the daily matrix. Moreover, the daily variations that are captured by the matrix may not be relevant information at the quarterly frequency. In summary, there may be a trade-off between using data at the relevant frequency and using data that are relevant today. It should be noted that such a trade-off between Decisions and above applies to the measurement of risk in all asset classes and not only to interest rates. In interest rates, there is another decision to make before we can measure risk. Since the price value of a basis point PV0) sensitivity vector is usually measured in basis points, an interest rate covariance matrix is also usually expressed in basis points. Hence, we have Decision. Decision. Should the Volatilities and Correlations Be Measured Directly on Absolute Changes in Interest Rates, or Should They Be Measured on Relative Changes and Then the Result Converted into Absolute Terms If rates have been trending over the data period the two approaches are likely to give very different results. One has to make a decision about whether relative changes or absolute changes are the more stable. In these data, for example, an absolute change of basis points in was relatively small, but in 00 it would have represented a very large change. Hence, to estimate an average daily covariance matrix over the entire data sample, it may be more reasonable to suppose that the volatilities and correlations should be measured on relative changes and then converted to absolute terms. Note, however, that a daily matrix based on the entire sample would capture a very long-term average of volatilities and correlations between daily U. S. Treasury rates, indeed it is a - year average that includes several periods of different regimes in interest rates. Such a long-term average, which is useful for long-term forecasts may be better based on lower frequency data e. g. monthly). For a - day forecast horizon. we shall use only the data since January, 000. To make the choice for Decision, we take both the relative daily changes the difference in the log rates) and the absolute daily changes the differences in the rates, in basis-point terms). Then we obtain the standard deviation, correlation, and covariance in each case, and in the case of relative changes we translate the results into absolute terms. We now compare results based on relative changes with result based on absolute changes. The correlation matrix estimates based on the period January, 000, to March, 00, are shown in Table CC. The matrices are similar. Both matrices display the usual characteristics of an interest rate term structure: Correlations are higher at the long end than the short end, and they decrease as the difference between the two maturities increases. Table CC. Correlation of U. S. Treasuries a) Based on Relative Changes m m y y y y y0 m.00 m y y y y y b) Based on Absolute Changes m m y y y y y0 m.00 m y y y y y Table CC. compares the volatilities of the interest rates obtained using the two methods. The figures in the last row of each table represent an average absolute volatility for each rate over period January, 000 to March, 00. Basing this first on relative changes in interest rates, Table CC. a) gives the standard deviation of relative returns volatility in the first row. The long-term rates have the lowest standard deviations, and the medium-term rates have the highest standard deviations. These standard deviations are then annualized by multiplying by, Au: assuming each rate is independent and identically distributed) and multiplied by the level of the interest rate on March, 00. There was a very marked upward sloping yield curve on March, 00. Hence the long-term rates are more volatile than the short-term rates: for instance the - month rate has an absolute volatility of about basis points, but the absolute volatility of the 0-year rates is about basis points. Table CC. b) measures the standard deviation of absolute changes in interest rates over the period January, 000 to March, 00, and then converts this into volatility by multiplying by. We again find that the long - Au: term rates are more volatile than the short-term rates for instance, the six-month rate has an absolute volatility of about basis points, but the absolute volatility of the five-year rates is about 0 bps. It should be noted that it is quite unusual for long-term rates to be more volatile than short-term rates. But from 000 to 00 the U. S. Fed was exerting a lot of control on short-term rates, to bring down the general level of interest rates. However the market expected interest rates to rise, because the yield curve was upwards sloping during most of the period.) We find that correlations were similar, whether based on relative or absolute changes. But Table CC. shows there is a substantial difference between the volatilities obtained using the two methods. When volatilities are based directly on the absolute changes, they are slightly lower at the short end and substantially lower for the medium-term rates. symbol ok symbol ok 9 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE Table CC. Volatility of U. S. Treasuries a) Based on Relative Changes m m y y y y y0 Standard deviation Yield Curve on March, Absolute volatility in basis points) b) Based on Absolute Changes m m y y y y y0 Standard deviation Absolute volatility in basis points) Finally, we obtain the annual covariance matrix of absolute changes in basis point terms) by multiplying the correlation matrix by the appropriate absolute volatilities and to obtain the one-day covariance matrix we divide by. The results are shown in Table CC. Depending on whether we base estimates of volatility and correlation on relative or absolute changes in interest rates, the covariance matrix can be very different. In this case, it is short-term and medium-term volatility estimates that are the most affected by the choice. Given that we have used the equally weighted average methodology to construct the covariance matrix, the underlying assumption is that volatilities and correlations are constant. Hence, the choice between relative or absolute changes depends on which are the more stable. In countries with very high interest rates, or when interest rates have been trending during the sample period, relative changes tend to be more stable than absolute changes. In summary, there are four crucial decisions to be made when estimating a covariance matrix for interest rates. Which statistical model should we employ. Which historical data period should be used Table CC. One-Day Covariance Matrix of U. S. Treasuries, in Basis Points a) Based on Relative Changes m m y y y y y0 m.0 m. y. 0 y y. y y b) Based on Absolute Changes m m y y y y y0 m 0.0 m. y..0. y..0. y. y y Should the data frequency be daily, weekly, monthly or quarterly. Should we base the matrix on relative or absolute changes in interest rates The first three decisions must also be made when estimating covariance matrices in other asset classes such as equities, commodities, and foreign-exchange rates. There is a huge amount of model risk involved with the construction of covariance matrices very different results may be obtained depending on the choice made. Pitfalls of the Equally Weighted Moving Average Method The problems encountered when applying this model stem not from the small jumps that are often encountered in financial asset prices, but from the large jumps that are only rarely encountered. When a long averaging period is used, the importance of a single extreme event is averaged out within a large sample of returns. Hence, a moving average volatility estimate may not respond enough to a short, sharp shock in the market. This effect is clearly visible in 00, where only the 0-day volatility rose significantly over a matter of a few weeks. The longer-term volatilities did rise, but it took several months for them to respond to the market falls in the MIB during mid-00. At this point in time there was actually a cluster of volatility, which often happens in financial markets. The effect of the cluster was to make the longer-term volatilities rise, eventually, but then they took too long to return to normal levels. It was not until markets returned to normal in late 00 that the three volatility series in Figure CC. are in line with each other. When there is an extreme event in the market, even just one very large return will influence the T-day moving average estimate for exactly T days until that very large squared return falls out of the data window. Hence volatility will jump up, for exactly T days, and the fall dramatically on day T , even though nothing happened in the market on that day. This type of ghost feature is simply an artefact of the use of equal weighting. The problem is that extreme events are just as important to current estimates, whether they occurred yesterday or a very long time ago. A single large, squared return remains just as important T days ago as it was yesterday. It will affect the T-day volatility or correlation estimate for exactly 10 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. 0 Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices 0 Au: symbol ok T days after that return was experienced, and to exactly the same extent. However, with other models we would find that volatility or correlation had long ago returned to normal levels. Exactly T days after the extreme event, the equally weighted moving average volatility estimate mysteriously drops back down to about the correct level that is, provided that we have not had another extreme return in the interim Note that the smaller is T, the number of data points used in the data window, the more variable the historical volatility series will be. When any estimates are based on a small sample size they will not be very precise. The larger the sample size the more accurate the estimate, because sampling errors are proportional to T. For this reason alone a short moving average will be more variable than a long moving average. Hence, a 0-day historic volatility or correlation) will always be more variable than a 0-day historic volatility or correlation) that is based on the same daily return data. Of course, if one really believes in the assumption of constant volatility that underlies this method, one should always use as long a history as possible, so that sampling errors are reduced. It is important to realize that whatever the length of the historical averaging period and whenever the estimate is made, the equally weighted method is always estimating the same parameter: the unconditional volatility or correlation) of the returns. But this is a constant it does not change over the process. Thus, the variation in T-day historic estimates can only be attributed to sampling error: there is nothing else in the model to explain this variation. It is not a time-varying volatility model, even though some users try to force it into that framework. The problem with the equally weighted moving average model is that it tries to make an estimate of a constant volatility into a forecast of a time-varying volatility. Similarly, it tries to make an estimate of a constant correlation into a forecast of a time-varying correlation. No wonder financial firms have lost of lot of money with this model It is really only suitable for long-term forecasts of average volatility, or correlation, for instance over a period of between six months to several years. In this case, the lookback period should be long enough to include a variety of price jumps, with a relative frequency that represents the modeler expectations of the probability of future price jumps of that magnitude during the forecast horizon. Using Equally Weighted Moving Averages To forecast a long-term average for volatility using the equally weighted model, it is standard to use a large sample size T in the variance estimate. The confidence intervals for historical volatility estimators given earlier in this chapter provide a useful indication of the accuracy of these long-term volatility forecasts and the approximate standard errors that we have derived earlier in this chapter give an indication of variability in long-term volatility. Here, we saw that the variability in estimates decreased as the sample size increased. Hence, long-term volatility that is forecast from this model may prove useful. When pricing options, it is the long-term volatility that is most difficult to forecast. Options trading often focuses on short-maturity options and long-term options are much less liquid. Hence, it is not easy to forecast a long-term implied volatility. Long-term volatility holds the greatest uncertainty, yet it is the most important determinant of long-term option prices. We conclude this section with an interesting conundrum, considering two hypothetical historical volatility modellers, whom we shall call Tom and Dick, both forecasting volatility over a - month risk horizon based on equally weighted average of squared returns over the past months of daily data. Imagine that is it January 00 and that on October, 00 the market crashed, returning in the space of a few days. So some very large jumps occurred during the current data window, albeit three months ago. Tom includes these extremely large returns in his data window, so his ex-post average of squared returns, which is also his volatility forecast in this model, will be very high. Because of this, Tom has an implicit belief that another jump of equal magnitude will occur during the forecast horizon. This implicit belief will continue until one year after the crash, when those large negative returns fall out of his moving data window. Consider Tom s position in October 00. Up to the middle of October he includes the crash period in his forecast but after that the crash period drops out of the data window and his forecast of volatility in the future suddenly decreases as if he suddenly decided that another crash was very unlikely. That is, he drastically changes his belief about the possibility of an extreme return. So, to be consistent with his previous beliefs, should Tom now bootstrap the extreme returns experienced during October 00 back into his data set And what about Dick, who in January 00 does not believe that another market crash could occur in his - month forecast horizon So, in January 00, he should somehow filter out those extreme returns from his data. Of course, it is dangerous to embrace the possibility of bootstrapping in and filtering out extreme returns in data in an ad hoc way, before it is used in the model. However, if one does not do this, the historical model can imply a very strange behavior of the beliefs of the modeler. In the Bayesian framework of uncertain volatility the equally weighted model has an important role to play. Equally weighted moving averages can be used to set the bounds for long-term volatility that is, we can use the model to find a range sigma min, sigma max for the long-term average volatility forecast. The lower bound sigma min can be estimated using a long period of historical data with all the very extreme returns removed and the upper bound sigma max can be estimated using the historical data where the very extreme returns are retained and even adding some A modeler s beliefs about long-term volatility can be formalized by a probability distribution over the range sigma min, sigma max . This distribution would then be carried through for the rest of the analysis. For instance, upper and lower price bounds might be obtained for long-term exposures with option like structures, such as warrants on a firm s equity or convertibles bonds. This type of Bayesian method, which provides a price distribution rather than a single price, will be increasingly used in market risk management in the future. 11 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGES An exponentially weighted moving average EWMA) avoids the pitfalls explained in the previous section because it puts more weight on the more recent observations. Thus as extreme returns move further into the past as the data window slides along, they become less important in the average. Statistical Methodology An exponentially weighted moving average can be defined on any time series of data. Say that on date t we have recorded data up to time t, so we have observations x t. x ). The exponentially weighted average of these observations is defined as: EWMAx t. x ) x t lambdax t lambda x t . lambda t x lambda lambda . lambda t where lambda is a constant, 0 ltlambdalt, called the smoothing or the decay constant. Since lambda T 0asT the exponentially weighted average places negligible weight on observations far in the past. And since lambda lambda . lambda) we have, for large t, EWMAx t. x ) x t lambdax t lambda x t lambda lambda . lambda) i lambda x t i This is the formula that is used to calculate exponentially weight moving average EWMA) estimates of variance with x being the squared return) and covariance with x being the cross product of the two returns). As with equally weighted moving averages, it is standard to use squared daily returns and cross products of daily returns, not in mean deviation form. That is: and circsigma t lambda) circsigma, t lambda) lambda i rt i i lambda i r, t i r, t i i CC.) CC.0) The above formulae may be rewritten in the form of recursions, more easily used in calculations: circsigma t lambda) rt lambda circsigma t CC.) and circsigma, t lambda) r, t r, t lambda circsigma, t CC.) An alternative notation used for the above is V lambda r t ), for circsigma t and COV lambda r, t, r, t ) for circsigma, t when we want to make explicit the dependence on the smoothing constant. One converts the variance to volatility by taking the annualized square root, the annualizing constant being determined by the data frequency as usual. Note that for the EWMA correlation the covariance is divided by the square root of the product of the two EWMA variance estimates, all with the same value of lambda. Similarly for the EWMA beta the covariance between the stock or portfolio) returns and the market returns is divided by the EWMA estimate for the market variance, both with the same value of lambda. That is: circ t, lambda COV lambdar, t, r, t ) CC.) Vlambda r, t )V lambda r, t ) and circbeta t, lambda COV lambdax t, Y t ) V lambda X t ) Interpretation of lambda CC.) There are two terms on the right hand side of CC.). The first term lambda) rt determines the intensity of reaction of volatility to market events: the smaller is lambda the more the volatility reacts to the market information in yesterday s return. The second term lambda circsigma t determines the persistence in volatility: Irrespective of what happens in the market, if volatility was high yesterday it will be still be high today. The closer that lambda is to, the more persistent is volatility following a market shock. Thus, a high lambda gives little reaction to actual market events but great persistence in volatility, and a low lambda gives highly reactive volatilities that quickly die away. An unfortunate restriction of exponentially weighted moving average models is that the reaction and persistence parameters are not independent: the strength of reaction to market events is determined by lambda, whilst the persistence of shocks is determinedby lambda. But this assumption is not empirically justified except perhaps in a few markets e. g. major U. S. dollar exchange rates). The effect of using a different value of lambda in EWMA volatility forecasts can be quite substantial. Figure CC. compares two EWMA volatility estimatesforecasts of the SampP 00 index, with lambda 0.0 and lambda 0. It is not 0 0 0 0 0 0 EWMA 0.0) Volatility EWMA 0.) Volatility May-00 Sep-00 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 Figure CC. Different lambdas EWMA Volatility Estimates for SP00 with 12 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices unusual for these two EWMA estimates to differ by as much as 0. So which is the best value to use for the smoothing constant How should we choose lambda This is not an easy question. By contrast, in generalized autoregressive conditional heteroskedascity GARCH) models there is no question of how we should estimate parameters, because maximum likelihood estimation is an optimal method that always gives consistent estimators.) Statistical methods may considered: For example, lambda could be chosen to minimize the root mean square error between the EWMA estimate of variance and the squared return. But, in practice, lambda is often chosen subjectively because the same value of lambda has to be used for all elements in a EWMA covariance matrix. As a rule of thumb, we might take values of lambda between about 0. volatility is highly reactive but has little persistence) and 0. volatility is very persistent but not highly reactive) 0 0 0 0 0 0 Properties of the Estimates A EWMA volatility estimate will react immediately following an unusually large return then the effect of this return on the EWMA volatility estimate gradually diminishes over time. The reaction of EWMA volatility estimates to market events therefore persists over time, and with a strength that is determined by the smoothing constant lambda. The larger the value of lambda, the more weight is placed on observations in the past and so the smoother the series becomes. Figure CC. compares the EWMA volatility of the MIB index with lambda 0. and the 0-day equally weighted volatility estimate. The difference between the two estimators is marked following an extreme market return. The EWMA estimate gives a higher volatility than the equally weighted estimate, but it returns to normal levels faster than the equally weighted estimated because it does not suffer from the ghost features discussed above. One of the disadvantages of using EWMA to estimate and forecast covariance matrices is that the same value of EWMA 0.) Volatility 0-day Volatility May-00 Sep-00 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 Figure CC. EWMA versus Equally Weighted Volatility lambda is used for all the variances and covariances in the matrix. For instance, in a large matrix covering several asset classes, the same lambda applies to all equity indices, foreign exchange rates, interest rates, andor commodities in the matrix. But why should all these risk factors have similar reaction and persistence to shocks This constraint is commonly applied merely because it guarantees that the matrix will be positive semidefinite. The EWMA Forecasting Model The exponentially weighted average variance estimate CC.), or in its equivalent form CC.) is just a methodology for calculating circsigma t. thatis, itgivesavarianceesti - mate at any point in time but there is no model as such, that explains the behaviour of the variance of returns, sigmat at each time t. In this sense, we have to distinguish EWMA from a GARCH model, which starts with a proper specification of the dynamics of sigmat and then proceeds to estimate the parameters of this model. Without a proper model, it is not clear how we should turn our current estimate of variance into a forecast of variance over some future horizon. One possibility is to augment CC.) by assuming it is the estimate associated with the model sigmat lambda) rt lambdasigma t r t I t N 0,sigmat ) CC.) An alternative is to assume a constant volatility, so the fact that our estimates are time varying is merely due to sampling error. In that case any EWMA variance forecast must be constant and equal to the current EWMA estimate. Similar remarks apply to the EWMA covariance, this time regarding EWMA as a simplistic version of bivariate normal GARCH. Similarly, the EWMA volatility or correlation) forecast for all risk horizons is simply set at the current EWMA estimate of volatility or correlation). The base horizon for the forecast is given by the frequency of the data daily returns will give the one-day covariance matrix forecast, weekly returns will give the one-week covariance matrix forecast, and so forth. Then, since the returns are independent and identically distributed, the square root of time rule applies. So we can convert a oneday forecast into an h-day covariance matrix forecast by multiplying each element of the one-day EWMA covariance matrix by h. Since the choice of lambda itself quite ad hoc, as discussed above, some users choose different values of lambda for forecasting over different horizons. For instance, as discussed later in this chapter, in the RiskMetrics TM methodolgy a relative low value of lambda is used for short-term forecasts and a higher value of lambda is used for long-term forecasts. However, this is purely an ad hoc rule. Standard Errors for EWMA Forecasts In the previous section, we justified the assumption that the underlying returns are normally and independently distributed with mean zero and variance sigma. That is, for 13 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE Now we can apply the variance operator to and calculate the variance of the EWMA variance estimator as: V circsigma t ) lambda) lambda ) V rt ) lambda lambda sigma CC.) For instance, as a percentage of the variance, the standard error of the EWMA variance estimator is about when lambda 0. 0. when lambda 0. and. when lambda 0. A single point forecast of volatility can be very misleading. A forecast is always a distribution. It represents our uncertainty over the quantity that is being forecast. The standard error of a volatility forecast is useful because it can be translated into a standard error for a VaR estimate, for instance, or an option price. In any VaR model one should be aware of the uncertainty that is introduced by possible errors in the forecast of the covariance matrix. Similarly, in any mark-to-model value of an option, one should be aware of the uncertainty that is introduced by possible errors in the volatility forecast. Au: Pls. 0 complete this sentence all t E r t ) 0 and V rt ) E r t ) sigma In this section, we use this assumption to obtain standard errors for EWMA forecasts. From the above, and further from the normality assumption, we have: V rt ) ) ) E r t E r t sigma sigma sigma The RiskMetrics TM Methodology Three very large covariance matrices, each based on a different moving average methodology, are available from These matrices cover all types of assets including government bonds, money markets, swaps, foreign exchange, and equity indices for currencies and commodities. Subscribers have access to all of these matrices updated on a daily basis and end-of-year matrices are also available to subscribers wishing to use them in scenario analysis. After a few days, the datasets are also made available free for educational use. The RiskMetrics TM group is the market leader in market and credit risk data and modeling for banks, corporates asset managers, and financial intermediaries. It is highly recommended that readers visit the web site where they will find a surprising large amount of information in the form of free publications and data. See the References at the end of this chapter for details. The three covariance matrices provided by the RiskMetrics group are each based on a history of daily returns in all the asset classes mentioned above. هم انهم. Regulatory matrix: This takes it name from the unfortunate) requirement that banks must use at least days of historical data for VaR estimation. Hence this metric is an equally weighted average matrix with n . The volatilities and correlations constructed from this matrix represent forecasts of average volatility or correlation) over the next days. 0 0 0 0 0 Jan - Jan - Daily EWMA Volatility Monthly EWMA Volatility Regulatory Volatility Jan - Jan - Jan-00 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Figure CC. Comparison of the RiskMetrics Forecasts for FTSE00 Volatility. Daily matrix: This is an EWMA covariance matrix with lambda 0. for all elements. It is not dissimilar to an equally weighted average with n , except that it does not suffer from the ghost features caused by very extreme market events. The volatilities and correlations constructed from this matrix represent forecasts of average volatility or correlation) over the next day. Monthly matrix: This is an EWMA covariance matrix with lambda 0. for all elements and then multiplied by i. e. using the square root of time rule and assuming days per month). The volatilities and correlations constructed from this matrix represent forecasts of average volatility or correlation) over the next days. The main difference between the three different methods is evidenced following major market movements: The regulatory forecast will produce a ghost effect of this event, and does not react as much as the daily or monthly forecasts. The most reactive is the daily forecast, but it also has less persistence than the monthly forecast. Figure CC. compares the estimates for the FTSE 00 volatility based on each of the three RiskMetrics methodologies and using daily data from January. to June, 00. As mentioned earlier in this chapter, these estimates are assumed to be the forecasts over, respectively, one day, one month, and one year. In volatile times, the daily and monthly estimates lie well above the regulatoryforecastandtheconverseistrueinmoretranquil periods. For instance, during most of 00, the regulatory estimate of average volatility over the next year was about 0 higher than both of the shorter-term estimates. However, it was falling dramatically during this period, and indeed the regulatory forecast of more than 0 volatility on average between June 00 and June 00 was entirely wrong. However, at the end of the period, in June 00, the daily forecasts were above 0, and the monthly forecasts were only just below this. However, the regulatory forecast over the next year was only slightly more than 0. During periods when the markets have been tranquil for some time, for instance during the whole of 00, the 14 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices 0 three forecasts tend to agree more. But during and directly after a volatile period there are large differences between the regulatory forecasts and the two EWMA forecasts, and these differences are very difficult to justify. Neither the equally weighted average nor the EWMA methodology is based on a proper forecasting model. One simply assumes the current estimate is the volatility forecast. But the current estimate is a backward-looking measure based on recent historical data. So both of these moving average models make the assumption that the behavior of future volatility is the same as its past behavior and this is a very simplistic view SUMMARY The equally weighted moving average, or historical approach to estimatingforecasting volatilities and correlations, was the only statistical method used by practitioners until the mid-0s. The historical method may provide a useful indication of the possible range for a long-term average, such as the average volatility or correlation over the next several years. However, its application to shortterm forecasting is very limited, indeed the approach suffers from at least four drawbacks. First, the forecast of volatilitycorrelation over all future horizons is simply taken to be the current estimate of volatility, because the underlying assumption in the model is that returns are independent and identically distributed. Second, the only choice facing the user is on the data points to use in the data window. The forecasts produced depend crucially on this decision, yet there is no statistical procedure to choose the size of data window it is a purely subjective decision. Third, following an extreme market move the forecasts of volatility and correlation will exhibit a so-called ghost feature of that extreme move, which will severely bias the volatility and correlation forecasts upward. Finally, the extent of this bias depends very much on the size of the data window. The bias issue was addressed by J. P. Morgan bank, which launched the RiskMetrics TM data and software suite in the mid-0s. The bank s choice of methodology helped to popularize the use of exponentially weighted moving averages EWMA) by financial analysts. The EWMA approach provides useful forecasts for volatility and correlation over the very short term, such as over the new day or week. However, its use for longer-term 0 forecasting is limited, and this methodology also has two major problems. First, the forecast of volatilitycorrelation over all future horizons is simply taken to be the current estimate of volatility, because the underlying assumption in the model is that returns are independent and identically distributed. Second, the only choice facing the user is aboutthe value ofthe smoothing constant, lambda. The forecasts produced depend crucially on this decision, yet there is no statistical procedure to choose lambda. Often an ad hoc choice is made for example, the same lambda is taken for all series and a higher lambda is chosen for a longer-term forecast. Moving average models assume returns are independent and identically distributed, and the further assumption that they are normally distributed allows one to derive standard errors and confidence intervals for moving average forecasts. But empirical observations suggest that returns to financial assets are hardly ever independent and identically, let alone normally distributed. For these reasons more and more practitioners are basing their forecasts on generalized autoregressive conditional heteroskedasticity GARCH) models. There is no doubt that such models produce superior volatility forecasts. It is only in GARCH models that the term structure volatility forecasts converge to the long run average volatility the other models produce constant volatility term structures. Moreover, the value of the EWMA smoothing constant is chosen subjectively and the same smoothing constant must be used for all the returns, otherwise the covariance matrix need not be positive semi-definite. But GARCH parameters are estimated optimally and GARCH covariance matrices truly reflect the time-varying volatilities and correlations of the multivariate returns distributions. REFERENCES Alexander, C. 00). Market Risk Analysis. Chichester, UK: John Wiley amp Sons. Freund, J. E. ). Mathematical Statistics. Englewood Cliffs: Pearson U. S. Imports amp PHIPEs. RiskMetrics ). RiskMetrics Technical Document, RiskMetrics ). Risk Management A Practical Guide, RiskMetrics 00). Return to RiskMetrics: The Evolution of astandardriskmetricsrrovv. html. Volume 1 by Frank J. Fabozzi Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices CAROL ALEXANDER, PhD Professor of Finance, University of Sussex Abstract: The volatilities and correlations of the returns on a set of assets, risk factors, or interest rates are summarized in a covariance matrix. This matrix lies at the heart of risk and return analysis. It contains all the information necessary to estimate the volatility of a portfolio, to simulate correlated values for its risk factors, to diversify investments, and to obtain efficient portfolios that have the optimal trade-off between risk and return. Both risk managers and asset managers require covariance matrices that may include very many assets or risk factors. For instance, in a global risk management system of a large international bank all the major yield curves, equity indexes, foreign exchange rates, and commodity prices will be encompassed in one very large dimensional covariance matrix. Variances and covariances are parameters of the joint distribution of asset (or risk factor) returns. It is important to understand that they are unobservable. They can only be estimated or forecast within the context of a model. Continuous-time models, used for option pricing, are often based on stochastic processes for the variance and covariance. Discrete-time models, used for measuring portfolio risk, are based on time series models for variance and covariance. In each case, we can only ever estimate or forecast variance and covariance. مع سفاري، تتعلم الطريقة التي تتعلم أفضل. الحصول على الوصول غير المحدود إلى أشرطة الفيديو، والتدريب عبر الإنترنت الحية، ومسارات التعلم والكتب والبرامج التعليمية التفاعلية، وأكثر من ذلك. بطاقة الإئتمان غير مطالب بها